几个漂亮的等式【与一个伟大的名字联系在一起——Euler】【原创】

bookish

用 sum{i=1,n}(f(i)) 表示对 f(i) 从 i=1 到 i=n 求和，用 inf 表示“无穷大”。

关于 sum{i=1,inf}(i^(-2k)) 的一般表达式见《数学手册》231页(人民教育出版社1979年5月第1版，http://www.readfree.net/bbs/read-htm-tid-241152.html)，其中，伯努利数的计算见该书的648页。或者直接用648页“一、伯努利数”一节中倒数第二个公式计算该无穷级数的和。用该节倒数第一个公式可得到伯努利数的递推公式。

sum{i=1,n}(1/i) 在 n 足够大时的渐近表达式可利用普西函数的特殊值(593页)和普西函数的渐近表达式(594页)写出。其中，欧拉常数的定义见588页。

“3.对于sum（i^(-k),i=1..infinity）【k为非1的奇数】，还没有人知道和是什么，如果你可以求出，哪怕只求出一个奇数K（非1）的和，我想你就可以收到哥廷根的聘书了”
sum{i=1,inf}(1 / (i^3)) ≈ 1.2020569031503
sum{i=1,inf}(1 / (i^5)) ≈ 1.0369277551433
sum{i=1,inf}(1 / (i^7)) ≈ 1.0083492773819
............
不知道这算不算？     

ccddyy9

3.对于sum（i^(-k),i=1..infinity）【k为非1的奇数】，还没有人知道和是什么，如果你可以求出，哪怕只求

出一个奇数K（非1）的和，我想你就可以收到哥廷根的聘书了

注：所指的是精确求和（即算出精确值，但谁也不能肯定这一定成功）

ccddyy9

如果是近似的，我可以给出更精确的【无任何技术含量】：

【前1000位精确值】

sum（i^(-3),i=1..infinity）≈1.202056903159594285399738161511449990764986292340498881792271555341838205786313090186455873609335258146199157795260719418491995998673283213776396837207900161453941782949360066719191575522242494243961563909664103291159095780965514651279918405105715255988015437109781102039827532566787603522336984941661811057014715778639499737523785277937030956025701853182790003076547107563048843320869711573742380793445031607625317714535444411831178182249718526357091824489987962035083357561720226033937858703281312678079900541773486911525370656237057440966221712902627320732361492242913040528555372341033077577798064242024304882815210009146026538220696271552020822743350010152948011986901176259516763669981718355752348807037195557423472940835952088616662025728537558130792825864872821737055661968989526620187768106292008177923381358768284264124324314802821736745067206935076268953043459393750329663637757506247332399234828831077339052768020075798435679371150509005027366047114008533503436467224856531518117766181092

醉乡常客

如果不是代数数，怎样才算精确。

比如，圆周率的精确值是多少？

ccddyy9

如果大家想知道前沿，我可以说一些：

1.1979年，Apery证明了sum（i^(-3),i=1..infinity）是无理数，但谁也不知道它是否为超越数。【与证明log（2），Pi（注，Pi为圆周率）等是无理数的数学思想方法相同】

2.（sum（i^(-3),i=1..infinity））/（Pi^(3)）【注，Pi为圆周率】是否为无理数，谁也不知道。

3.2001年证明sum（i^(-5),i=1..infinity），sum（i^(-7),i=1..infinity），sum（i^(-9),i=1..infinity），sum（i^(-11),i=1..infinity）中至少有一个为无理数。

先就说这些吧，打字很累的

含笑饮砒霜

这个有道理

lz要的是恒等式

ccddyy9

再说点有意思的吧，sum（i^(-3),i=1..infinity）与概率之间的关系【这可不是顺便什么地方都可以看到的】：

在（1，2，3，……，n）中随机取三个整数，没有大于1的公因子的概率为1/（sum（i^(-3),i=1..infinity）），当n——>infinity

数学有时候就是这么奇妙

bookish

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002117

醉乡常客

喝了几杯，说几句酒话。

不管楼主是不是数学系的，或者即使楼主就是某位数学牛人。发帖说话还是谦逊一点，并且用适当的的方式判断“原创”。

楼主的很多帖子总给人一种显示自己书看得多、懂得多，而别人“几乎”不配和你讨论。我相信，真正的牛人不是说话大套，而是有学术大气。也许，楼主本意并非如此，但写了东西，既然要发表，就是给人看的，如果大家都不能理解你的本意，说明你的表达就有问题。

另外，我不认为你罗列的几个公式叫做原创，如果你认为这是原创，应该拿出一点理由来，而且你在做公式的时候用的字号很不规范，补充说明通常不用“【】”，而应该用“（）”。我也不认为你计算了一下欧拉常数，就是原创。计算器还能显示3.1415926……，难道我按几下计算器，把那堆数字往网上一发，就要在后面加上原创二字？       

bookish

不好意思，6楼是假原创。

http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/Miscellaneous.txt

把人家170000位的数字在10000位作一个四舍五入，如果说是原创，只能跟小学生说了。

现把该文件作为附件，对喜欢在数学中探索或猎奇的人会有用的。

hpudqx

引用第28楼醉乡常客于2007-02-11 02:15发表的“”:
喝了几杯，说几句酒话。

不管楼主是不是数学系的，或者即使楼主就是某位数学牛人。发帖说话还是谦逊一点，并且用适当的的方式判断“原创”。

楼主的很多帖子总给人一种显示自己书看得多、懂得多，而别人“几乎”不配和你讨论。我相信，真正的牛人不是说话大套，而是有学术大气。也许，楼主本意并非如此，但写了东西，既然要发表，就是给人看的，如果大家都不能理解你的本意，说明你的表达就有问题。
.......

我不会喝酒，但我听说过：“酒后吐真言。”

bookish

其实，在http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001620中已经指出，有170000和1000000位的欧拉常数，当然，那里的连接一个不能下载，一个位数不到10000，但10000位以上的欧拉常数毕竟在网上已经有过了，而且现在网上还有。

要用现成程序（有下载）做一个这样的计算是不容易的，要自己编程更难。

楼主的主题帖不错，我加分。但6楼我要扣分。由于论坛不允许会员扣负分，所以扣在主题帖，功过抵消。     

hpudqx

引用第31楼bookish于2007-02-11 09:11发表的“”:
楼主的主题帖不错，我加分。但6楼我要扣分。由于论坛不允许会员扣负分，所以扣在主题帖，功过抵消。     

bookish老师的这句话是不是针对下面这句话说的，呵呵。开个玩笑，冒犯勿怪！

引用第15楼winwun于2007-02-10 16:11发表的“”:
另外，老bookish虽然是荣誉会员，但他显然是个老好人，别希望从老好人的反应中获得些“否定性”的东西。

winwun

bookish这种性格，已经是不会被外界所左右的了。所以32楼的猜测是不对的，呵呵。

bookish

不是，我喜欢学生有想法，有创意，哪怕他为此而狂，但不能作假。

hpudqx

搞学术的，假固然是不能做，狂也是很影响自身发展进步的。

bookish

21楼的跟帖的后半部分是想纠正楼主叙述方面的不足。只是楼主没有意识到。

欧拉的公式的最大贡献是建立了两个看起来不相关的事物之间的联系：zeta(2) 居然和圆周率有关。

否则的话，我们是否能说：zeta(3)=D，其中，D 为 Apery常数，我得到zeta(3)的结果了？！

ccddyy9

bookish有几句话听了着实令我伤心：

原话为：1.不好意思，6楼是假原创。
      
      2.把人家170000位的数字在10000位作一个四舍五入，如果说是原创，只能跟小学生说了。

      3.不是，我喜欢学生有想法，有创意，哪怕他为此而狂，但不能作假。

以下提出我的看法：

      1.我在五楼发帖的时间是【Posted: 2007-02-10 14:42】，而六楼的发帖时间为

       【Posted: 2007-02-10 14:48】，如果我是作假，于是我要在六分钟内完成以下几件事：
        
        ①找到至少一个Euler常数的近似数据，并且还需要是10000位以上的近似数据。

        ②还要做一件很痛苦的事，把那一个10000位以上的数据近似到10000位。【神啊！我得数

         到10000位，之后再做小学生都会的四舍五入，当然你可以说数数的技巧有很多，但对不

         起，我对数数毫无兴趣】
      
        ③发布前10000位的近似数据，此后还要担心是否有不怀好意的人去数一下，然后发一个轰

         动的帖子说：lz只算到9999位，却欺骗我们说是10000位的近似数据。
     
      2.而我实际发帖前所做的是：
  
       ①双击打开Maple【10秒】

       ②在Maple中输入一句简单的语言：evalf（gamma，10000）【意思为，将Euler常数算到

        小数点后10000】
  
       ③然后安心地等待11.5秒【机子比较差，穷人家的孩子，没办法】，结果出来了

       ④构思发六楼那一贴，把调和级数最有趣的一些性质展示给大家
  
以下是图：

bookish

ccddyy9兄知道什么叫原创吗？

欧拉常数的计算是别人已经做过的工作，我所知的是算到了1000000位了，我提供的数据是170000位，你给出10000位，原创在哪里？

你说那是用Maple算的，没有自己编程，所以算法上没有原创。如果可以的话，那就算一个110 0000位的，人家没做过的，那就是原创了，是数据本身的原创。

如果你自己编程，虽然位数算得不多，数据不是原创，但有可能你的算法是原创的。

如果你下载计算用的源程序，然后调试程序并计算，并介绍你的操作过程，那就是你使用程序计算欧拉常数的体会的原创，是文章的原创。

所以不能混淆“原创”的含义。如果是写论文，误用“原创”，那论文就成了学术丑闻了。

顺便说一句，word有计数功能，使用很方便的。我是用word的比较功能来检查你的数据的。

又，赞赏你的主题帖，但对于你对17楼及28楼的批评（指出6楼不属于原创）不予重视不满，所以就检索这1万位的数据了，如果查不到，我不能批评，因为证据不足。

学术上要认真，尤其对原创，更要慎重。

ccddyy9

原创帖的标准什么时候变成了原创论文的标准了？