人们心目中最美的公式【依然是Euler——分析的化身】【原创】【今天有点郁闷，随便

ccddyy9

大约是19年前，美国有一家杂志做过一个调查，请读者评选出心目中最漂亮的数学理论，

（引用）

Euler的两个公式当之无愧得占了状元和榜眼的位置，公式如下：

  

公式一把数学上最奇妙的5个数联系在了一起：e；Pi【注，Pi为圆周率】；i；0；1

以下只就第一个公式给几点注记吧！（想到什么就说什么了）：

1.e的说明：e的超越性的证明是Hermite（大数学家啊！）给出的，证明比较复杂。

2.Pi的说明：Pi的超越性的证明是Lindemann给出的（与几何上三大不可能作图中的化圆为方有密切关
   
          系），它的证明依赖的就是Euler的第一个公式，并且与Hermite的证法具有相同的数学

         思想。F-klein【注，不是那一个写数学史的M-klein】曾经写过一本名著《初等几何的

         著名问题》，里面有e的超越性和Pi的超越性的初等证明。回忆当初花一个星期读F-klein

         的这一本小册子是多么美好的时光啊！

3.i的说明：Euler引进的一个记号，起初表示为sqrt（-1）【注：sqrt是根号】。1811年的某天

       Gauss 给Bessel写了封信,说“我们应当给‘虚’数i以实数一样的地位...”单复变函数论

       从此诞生（引用）

4.0的说明：把它归为自然数似乎有点不妥，因为它出现地并不“自然”【比任何一个正整数都要

        晚】，但它却大大改善了计数的方法。代数学上把与0有相同性质的称为零元，并且有且
   
        仅有一个。

5.1的说明：自然数Peano公理中两个不加定义的概念之一【另一个是“后继”】，代数学上把与1

        有相同性质的称为单位元，并且有且仅有一个。

winwun

还是有些地方不切实际，夸大其词：

引用第0楼ccddyy9于2007-02-11 15:57发表的“人们心目中最美的公式【依然是Euler——分析的化身】【原创】【今天有点郁闷，随便写了点】”:
大约是17年前，美国有一家杂志做过一个调查，请读者评选出心目中最漂亮的理论，

Euler的两个公式当之无愧得占了状元和榜眼的位置，公式如下：.......

这里，你应该标出是哪个杂志。如果是面向大众的杂志，我相信谁也不会选这个公式；如果是面向物理学家的，我也相信谁也不会选这个公式。

——————————————————————————————————————

有可能，你说的杂志，是仅仅面向数学家的。请你把这家杂志的名称报出来，我给你加分。

如果你把这个公式的美妙性说出来——不要讲以上那些无用的，你要讲这个公式到底好在哪里？或者说，这个公式用处是啥？讲出来了，我也给你加分。

ccddyy9

引用第1楼winwun于2007-02-11 16:22发表的“”:
还是有些地方不切实际，夸大其词：



这里，你应该标出是哪个杂志。如果是面向大众的杂志，我相信谁也不会选这个公式；如果是面向物理学家的，我也相信谁也不会选这个公式。
.......

如果我是为了加分，那你也太小看我了

winwun

引用第2楼ccddyy9于2007-02-11 16:25发表的“”:



如果我是为了加分，那你也太小看我了

呵呵，我相信你不是为了加分。

不过得到他人的赞许，是每个人都期望的。

更何况是我这样“苛刻”的人给你加分。——那可是和其他人加分完全不一个概念啊。。。

woi55

俺搜了搜，帮楼主补充一下，第五个定理是：


（见：http://myweb.hinet.net/home3/mario123/games/theorem.htm，楼主引用的可能是这里：http://shuxuely.bokee.com/5440073.html，也缺了第五个定理。）

楼主第一个图片是引用，后面是自己写的关于第一个公式的几点说明。俺是这样理解的。

楼主不要郁闷，多听别人的意见没坏处，这样才能不断进步啊！

含笑饮砒霜

  

还是要感谢lz这样普及介绍数学知识地

bookish

第三个定理的证明见
http://www.readfree.net/bbs/read-htm-tid-294103.html

ccddyy9

楼上是欧几里得的证法，下面提供Euler关于素数无穷的证明：【主要步骤】

若素数只有有限个，记为：p[1],P[2],……P[k].则对于任何自然数N有：

         
  
令N——>infinity，则上不等式左端无限，右端有限。矛盾！  证毕

长歌－废墟

我给第二个公式一个小小的注释吧：V-E+F=2这个公式看上去简单，但它的意义可不小，它可以别认为是拓扑学的第一个公式，其中蕴涵的思想在二十世纪，经过Cartan，陈省身等微分几何大师的发展，成为“示性类”这一重要概念，这一个概念不但是微分几何和拓扑学在二十世纪最大的进展之一，而且在理论物理中，它也是物理学家用来分析量子场论中拓扑障碍的常用工具之一。
注１：一般认为Euler也是第一个发现拓扑学的人，他在解决柯尼斯堡七桥一笔画问题过程中，提出了被认为是第一个拓扑学定理的“一笔画”定理。
注２：柯尼斯堡现在不太有名，但历史上它却是好几位大师的故乡或者终身工作的地方，其中有：大哲学家，康德；以及大数学家Hilbert和闵可夫斯基。
大家无妨想想，第五个定理会是什么，让我选的话，我会从“代数基本定理”——一个n次方程在复数域内恰好有n个根和二次互反律——Gauss称之为“黄金定律”——中选一个，我想前者的可能性更大。
注３：至于说对公式的领悟力，在数学史上只有两个人可以和Euler相比，一个是十九世纪大数学家，雅可比，一个是二十世纪印度的数学天才，拉马努金。Euler的原著我没能见到，但却有幸找到了拉马努金著名的数学笔记（Springer出版），其中的公式，简直让人难以想象他是如何想到的，在左边是人做梦也想不到的复杂形式，在右边却奇迹般的简单无比，在这方面拉马努金是Euler一个非常称职的继任者。

bookish

7楼的公式中是否应加上：k 为小于 N 的素数的个数。

ccddyy9

引用第9楼bookish于2007-02-12 07:25发表的“”:
7楼的公式中是否应加上：k 为小于 N 的素数的个数。

没有必要，k已假定是全体有限素数的个数了

bookish

10楼是对的。如果用来证明素数个数无穷多，只要 k 有限这个条件就够了，因为 1/(1-1/pk)) > 1，多乘几项只会使等式右端更大。

但7楼的公式本身条件还可更严，我用简单的方法只能证明到“对于 k 为小于或等于 N  的素数的个数”。    

试证明一下。

设素数 p(1)=2, p(2)=3, p(3)=5, p(4)=7, ..., p(k) 为按从小到大的顺序排列的 k 个素数，p(k) 是小于或等于 N 的素数中最大的素数。设整数 N >= 2。

f = ∑{n=1,N} ( 1 / n )

f1 = (1-1/p(1)) * f = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N) / p(1) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... 1/m - r1

m 不能被 p(1) 整除，且 m <= N.

可以看到，f 中 可以被 p(1) 整除的各项被 f / p(1) 中 n * p(1) <= N 的各项消掉了。r1 为 f / p(1) 中和 f 相消后余下的各项。可以写成，

f1 = ∑{n=1,N; p(1) |\ n} ( 1 / n ) - R1

其中 p(1) |\ n 表示 n 不能被 p(1) 整除。显然有，f1 > 0, R1 = r1 > 0.

f2 = (1-1/p(2)) * f1 = f1 - f1 / p(2) = ∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n} ( 1 / n ) - R2

其中，R2 = r2 + (1 - 1 / p(2)) * R1 > 0, r2 为 f1 / p(2) 中和 f1 中可以被 p(2) 整除的 n 项相消后余下的各项，f2 > 0. 这时，∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n} ( 1 / n ) 的各项中，凡 n 能被 p(1) 或 p(2) 整除的项都被消掉了。

......

当做到第 k 步时，

fk = (1-1/p(k)) * f(k-1) = f(k-1) - f(k-1) / p(k) = ∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n, ..., p(k) |\ n} ( 1 / n ) - Rk

其中，Rk = rk + (1 - 1 / p(k)) * R(k-1) > 0, rk 为 f(k-1) / p(k) 中和 f(k-1) 中可以被 p(k) 整除的 n 项相消后余下的各项，fk > 0.

这时，对于 n=1, 2, 3, ..., N，除了 n=1 不能被 p(i) (p(i) <= N, i=1,k) 整除外，其他各项都可以被 p(i) (i=1,k) 中的一个整除，所以都在上述运算中被消掉了，即，

∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n, ..., p(k) |\ n} ( 1 / n ) = 1

所以有，fk = 1 - Rk < 1

fk = (1-1/p(k)) * f(k-1) = (1-1/p(k)) * (1-1/p(k-1)) * f(k-2) = ... = (1-1/p(k)) * (1-1/p(k-1)) * ... * (1-1/p(1)) * f = ∏{i=1,k} (1 - 1 / p(i)) * f < 1

f < ∏{i=1,k} 1 / (1 - 1 / p(i))

证毕。

笨人不是数学系毕业的，写这种证明很笨，还不知对不对呢。希望不很懂数学的人也能看懂。     

参考卢昌海《Euler 乘积公式》(http://www.changhai.org/contents ... /euler_product.html)

ccddyy9

其实证明只需要一步，如下图【论坛没有编辑数学符号系统，只能自己作图了】：



最后一个不等式成立还要用到算术学基本定理

bookish

这要用到“唯一分解定理”：

大于 1 的自然数都可唯一地分解为素数幂的积。设 n > 1，为自然数，则 n 可唯一地表为

n = p1^a1 * p2^a2 * ... * ps^as

a1 > 0, a2 > 0, ..., as > 0 (为自然数)

p1 < p2 < ... < ps (为素数)

其中 n 所含不同素因数的个数 s 不超过 ln(n) / ln2.

（只是这个定理从小学到大学，老师都没有教过。      ）

长歌－废墟

引用第13楼bookish于2007-02-12 22:53发表的“”:
这要用到“唯一分解定理”：

大于 1 的自然数都可唯一地分解为素数幂的积。设 n > 1，为自然数，则 n 可唯一地表为

n = p1^a1 * p2^a2 * ... * ps^as
.......

谁没事教这个呀

ccddyy9

可能有人会说像算术基本定理这样“明显”的结论为什么还要证明？但其实当我们把研究对象稍微扩大一

点，即研究所谓代数整数环时，算术基本定理就不一定成立。二次整环Z[sqrt(-5)]就是一个算术基本定

理不成立的例子。

特安乐恩

引用第0楼ccddyy9于2007-02-11 15:57发表的“人们心目中最美的公式【依然是Euler——分析的化身】【原创】【今天有点郁闷，随便写了点】”:
大约是19年前，美国有一家杂志做过一个调查，请读者评选出心目中最漂亮的数学理论，

（引用）

Euler的两个公式当之无愧得占了状元和榜眼的位置，公式如下：
.......

只有中学数学水平的人不会感到漂亮